클로징하고 이사 하기 까지 몇일정도가 무난하게 일을
처리 할수있는 기간일까요?

그리고 몰기지 페이먼트는 언제 내나요?

아파트의 경우 그달 초에 그달치 내잖아요. 보통 1일에서 5일까지.
집의 경우도 마찬가진가요?
2월달에 클로징 하면 3월 부터 몰기지 페이먼트 내나요?

그리고 월말에 클로징 하면 좋다고 하던데 뭐가 좋나요?

after you close you could move in to your house whenever you want.
closing fee includes prepay interest of that month. for ex, if you close today, you pay interest for today to 31 this month, then your first mortgage payment is due on March 1.
No good reason to close the end of month(you probable save pre interest, as you undersand)