아래 글에서 퍼왔다. 특히 제일 마지막 말. 와우! 🤣

이거 혹시 아는 분 있나요?

“수학은 굉장히 어렵고 추상적인데 사실 그게 수학의 매력이에요.” – 허준이.
“사람들이 수학이 단순하다는 것을 믿지 않는다면, 삶이 얼마나 복잡한지 알지 못하기 때문입니다.” – 폰 노이만
“세상에 쉬운 일이 드물다는 생각을 자주 한다” — 허준이 아들의 아빠

수학은 삶보다 단순하다. 삶도 복잡하고 수학도 복잡하니 생각이 복잡한건 당연지사. 그러나 그 복잡한 사고에서 단순함을 뽑아낼수 있는것이 수학이다. 삶에서 궁극적 단순함은 죽음이라는 널 벡터이다. 수학은 죽음에 이르지 않고도 살아가면서 단순함을 찾을수 있는 많지 않은 방법들 중의 하나를 제공해준다. 그런데 수학에서 널 벡터는 무에서 새로운 차원을 이머지 시켜주는 수단이 된다. 즉 부활이다.— 거울속의 저 사람이 가라사대.

무한대에 있는 거울에 두번 반복해서 비추인 나는 어떻게 될까? 이 세상에서 사라진다. 그런데 더 차원높은 곳에 나타난다. 이게 수학이다. 얼마나 철학적인가. 그런 수학이 어딨냐고? 수학적 표현으로는 e0^2 라고 하는데 e0 는 무한대에 있는 거울을 말한다. 못믿겠으면 물어보면 위키페디아의 링크 달아줄수도 있다.

(근데 난 수학하는 사람도 아니고 철학하는 사람도 아닌데? 잠시 아이덴티티의 혼란이 찾아왔다. … 그러나 금방 아이덴티티를 도로 찾았다: 수학도 하고 철학도 하는 사람.)

CL_1,2(R)을 구성하는 basis 자체는 e1^2=1, e2^2=-1, e3^2=-1 이렇게 3개가 맞으나 얘들끼리 anticommute 하기 때문에 이걸로 span하는 algebra에 속한 일반적인 벡터 v를 설명하려면 (1, e1, e2, e3, e1e2, e1e3, e2e3, e1e2e3) 각 항에 대한 계수를 모두 생각해야 한다. 이 계수를 두고 vector representation이라고 한건데 갑자기 파이썬에서나 쓰는 방식이라고 하니 내가 할말이 없어서 답을 안했음. vector form 얘기를 하자는건 basis element 자체를 R^n이나 C^n에서 생각하는게 아니고 CL에 속하는 일반적인 벡터를 설명하기 위한것임.

Quaternion을 설명하기 위해 4차원밖에 필요없는 이유는 CL_3,0(R)의 8개 차원에서 짝수 grade에 해당하는 애들만 따온 subspace랑 (second Clifford algebra) isomorphic하기 때문임. 즉 (1, e1e2, e1e3, e2e3)에 대한 계수만 nonzero인 것들을 생각해서 e1e2=i, e2e3=j, e3e1=-e1e3=k로 놓으면 quaternion이랑 동일하다. 굳이 second Clifford algebra로 안 가도 CL_0,2(R)의 4개 차원 (1, e1, e2, e1e2)를 (1, i, j, k)로 치환시키는 방법도 있음.

Clifford algebra는 개념적으로 vector space이지만 각 basis와 그걸 조합한 애들을 다룰 때 특정 계수를 가진 matrix로 놓으면 anticommute 등의 성질을 보존할 수 있어서 matrix representation을 쓰기도 함. CL_0,2(R)의 예를 계속하면 e1 = [i 0; 0 -i], e2 = [0 -1; 1 0]으로 놓고 일반 matrix product 하듯이 계산하면 e1e2 = -e2e1 = [0 -i; -i 0]이다.

수학 대학원 과정에서나 다룰 주제인건 맞지만 원글 질문은 응용도 아닌 definition에 관한것임.
“수준이 아주 높은 수학인걸 알아서 답을 기대하진 않는다”라던가,
“클리포드 알제브라에서는 그런식으로 칼럼벡터를 만들지 않습니다” 같이 뭐 이미 다 통달한 사람처럼 대답을 하고,
답한 사람한테 엉뚱하게 공부 좀 더 하면 도움이 될거라고 받아치기까지 하니 어이가 없습니다.
그 와중에 Vahlen matrix나 Mobius transformation이나 온갖 관련 키워드를 들이대면 뭐합니까? 사상누각이잖아요

학문하는 넘은 겸손이 생명이라고요? “수준이 아주 높은 수학”을 하고 있다는 자아도취에 빠진거 아닌지 자기객관화좀 부탁드림.

앞으로 이 76.*.204.204 IP가 수학 어쩌고 하는건 철저히 무시하겠음.

내가 Y라고 정의된 매트릭스가 궁금하다고 했지 클리포드 정의가 궁금하다는것도 아닌데.
제대로 배운넘이 Y 에 대해서도 아니고 클리포드 정의에 대해서만 툭 던지고는 ( 아, 그건 좋아 좋아 하지만)
한다는 소리가
워드 샐러드라고?

조롱하고 싸가지 없는것에 대해 미안함은 없나보군.
사과도 없이 지자배처럼 금방 토라지네. 인공지능도 사과를 내밀때와 쓰레기를 버릴때는 구분하던데. (학문을 이야기하는데 난데없이 미친소리라고 쓰레기를 던진넘이. 내가 무슨 대깨문 욕을 한것도 아니고 순수한 수학문제를 가지고 이야기 한건데. 대깨문 정신병자 욕쟁이랑 너랑은 좀 달라야 하지 않겠냐? )

글고 내 수학 질문 굴애 대해서 호감 항상 클릭 찍는 애가 너는 아니쟎아. 그게 너라면 이번 한번은 용서해주께. 그게 너가 아니라면 사과하는 의미에서 호감하나 클릭하고 가라 잉. 지지배처럼 토라지지 말고. 한국의 수학을 살려야 될거 아니야. 글고 앞으로는 워드 샐러드라는둥 그런소리 절대 입밖에 내지마라 너 강의실에서 그런소리 잘못했다간 총맞아 죽는다.

글고 내가 파이썬 이야기한건
실제로 파이썬은 매트릭스/어레이가(파이토치나 텐서플로우에서는 텐서라고 부르지만) 로벡터든 칼럼벡터든 다 커버해서 계산해주니까 틀린소리 한건 아니쟎아. 파이토치같은데선 그냥 벡터건 매트릭스건 텐서라고 다 포함시켜버리니까. 그리고 베이시스들은 오쏘너밀이라고 생각하고 다 니가 이야기한거처럼 성분만 가지고 다루지. 수학자들이나 물리학자들은 베이시스가 아주 중요하지만. 클리포드에서도 베이시스를 이야기하는것이지 성분을 따지고 있는건 아니쟎아.
아참 그러고 보니 성분을 자꾸 이야기하는거 보니까 그걸 잘 이해못하는 모양인데…멀티벡터는 서브그룹으로 나누어질수 있쟎아. 예를들어 CL(3,0) 일경우에 멀티벡터를 두개의 서브알제브라로 나눌수 있는데 하나는 쿼터니언 서브그룹으로 나눌수 있고 하나는 우리가 흔히 아는 벡터시스템(바이벡터나 트라이벡터가 아닌)으로 나누는데 이때 성분을 다 분리해서 생각해야 하는거야. 쿼터니온은 보통 4개성분을 노말라이즈를 시키지. 왜냐하면 로테이션 변환의 의미를 가지니까 하지만 컨벤센널벡터 시스템일경우는 니 말대로 계네들 성분끼리를 그냥 칼럼벡터로 써도 되는거고. 쿼터니온쪽 성분과 같이 섞어쓰면 의미가 없어. 내가 그걸 이야기 한거야. CL(0,2) 의 경우는 그 자체가 쿼터니온 시스템을 이루니까 회전트랜스폼으로 해석되지만 일반 물리적으로 벡터로 취급해서 해석하면 별 도움이 안되는거고. 우리가 3차원 공간에서 쓰는 벡터는 다 포지티브 유니트 놈을 가정하쟎아. 그러니 복소수 시스템도 회전으로 해석하면 도움이 되지만 복소수 2차원을 마치 유클리드 2차원처럼 해석하는건 편법 반쪽짜리 해석이 되는거지. 뭐 이건 물론 다 알고 있겠지만. CL(3,0)의 베이시스는 8×8지만 쿼터니언만 서브알제브랄로 떼내어서 생각하니까 쿼터니온 베이시스는 4×4로 쓸수 있게 된거겠고…아마 전체 멀티벡터를 한개의 8×8 의 매트릭스로 통합해서 써주면 그 서브블락이 4×4 쿼터니온을 아루고 있겠지.