https://brainly.com/question/11863405

A bag contains 6 blue marbles, 10 red marbles, and 9 green marbles. If two marbles are drawn at random without replacement, what is the probability that two green marbles are drawn? (IT IS NOT 9/25!)

중학생에게 이 답을 설명해 주는데, 제가 첫번째 확률 9/25 와
두번째 확률 8/24 를 곱해주는 이유를 설명해 주지 못하고 있습니다.

저는 무의식(?), 그냥 학창 시절에 문제 풀던 습관대로 곱했던 것 같습니다.

쉽게 설명할 방법을 알고 계신 분 지식 좀 나눠주세요.

감사합니다.

좋은 질문인거 같은데요. 학창시절 제가 직관적으로 곱했던 이유는 확률은 사건이 생기면 생길수록 그 아웃풋이 점점 작아지기 때문이다, 라고 생각했던 거 같습니다.
즉, 내일 비가 올 확률은? 비가 오는데 내가 우산을 가져갈 확률은? 우산을 가져갔는데 학교에 놓고 올 확률은? 그래서 엄마한테 욕 먹을 확률은? 등등의 모든 사건을 생각해보면 아웃풋이 점점 작아지죠.

확율문제에서 가장 쉬운 설명방식은 모든 케이스를 나열한 다음 갯수를 세는 거에요. 구슬 두개를 순서대로 꺼내는 경우의 수는 25*24가지이고, 그 중에 두번 다 녹색이 나올 확율은 9*8가지니까요. 확율은 (9*8) / (25*24)

사건의 확률은 늘 0 (안 일어난다), 1 (일어난다) 사이죠. <== 이게 중요한 겁니다.
첫 번째 사건의 확률이 1/2 이라고 가정하고,
두번째 사건 의 확률도 1/2 이라고 가정했을 때

두번째 사건이 첫번째 사건의 독립변수라고 한다면 (첫번째 사건이 일어나거 안 일어나건 상관없음) 두번째 사건의 확률 계속 1/2 이고, 독립변수가 아니라면, (종속관계라면, 첫번째 사건이 일어나야 두번재 사건이 일어날 경우가 생긴다) 곱해야죠.

피자를 1/4로 자르고 다시 반으로 자르면 1/8이 되는걸로 설명해주면 아이가 이해하기 쉬울 듯 해요.

두개의 이벤트가 독립이라 그렇습니다.

독립이 아니라 독립이 아닌거 아닌가요?ㅋ

두개의 확률을 곱하는 이유는 ..
그것이 일일이 outcome을 한개한개 다 세는 것보다 빠르기 때문이죠.
애들 둘 낳았는데, 첫째가 아들, 둘째도 아들인 경우는
* 아들 아들, 아들 딸, 딸 아들, 딸 딸
4가지 중에 1가지 인데, 또는 1/4확률인데
각각 1/2 확률 곱하기 1/2확률이 하나하나 세는 거보다 쉽잖아요.

아는 지인이 딸만 다섯인데, 1/2*1/2*1/2*1/2*1/2 = 3.1% 확률나오네요.
이거보다는 더 높을것 같은 느낌은 드는데,
그냥 공식대로 하는게 하나하나 세는거보다 쉽네요.

제가 이해한 거로는 두개의 사건이 연속해서 일어나기 때문입니다. 앞의 사건이 일어나고 그 다음 다시 뽑아야 하면 두번 연속으로. 다른예를들면 한달에 1/100의 확율로 복권이 당첨되는 것이 두달 연속 본인에게 일어나면 1/100*1/100=1/10000이 되는 것이지요. 위의 예에서는 하나의 찬스가 줄어 들었으므로 첫번째 확율은 9/25 다음번은 8/24, 이것을 곱하는 것은 두번째 사건도 앞의 사전의 전제하게 일으나므로 곱하게 되죠.

두 사건이 독립인게 맞는데 근원적 질문은 독립이면 왜 곱하냐는거죠. 거기에 답을 해줘야 어린아이에게 맞게 대답하는 것 같습니다. 공대박사까지 한 저도 진짜 답은 잘 모르지만…
다만 어린아이의 시각에서 본 수학은 참 이상한 과목입니다. 전 초등학교 저학년 때 부모님이 학원을 보내줬는데 그 때 x, y axis를 그려야 했습니다. 저는 무의식적으로 negative directions에도 화살표를 붙였죠. axis는 양쪽 방향으로 무한대로 증가하니 한 쪽에만 붙이는게 맞지 않다고 생각하고. 선생님이 보더니 귀싸대기를 때렸습니다. 왜 시키는대로 안 하냐고. 제가 설명을 하고 왜 때리냐고 물으니 아무 말 안 하더라구요.
그 외에도 초등학교 때 1,2,3… 등의 자연수를 배우며 왜 이름이 자연수일까 생각했습니다. 자연에 있는 것들은 대부분은 길이가 1.1535 cm 등등으로 정확히 떨어지는게 없는데 왜 이름이 자연수일까. 당시는 무리수나 유리수를 배우기도 전 이었는데 자연수는 굉장히 부자연스럽다고 생각했죠.
수학과나 수학교육과 분들은 더 잘 설명할 수 있겠지만 2^3=8 같은 것도 현재의 수학시스템이 아닌 아주 다른 방식으로 접근해서 푸는 것도 있습니다. 심심하면 아래 링크 보셈.

이미 dddd분이 답을 주셨고… 몇가지 예만 생각하면 왜 곱하는지 알수있을텐데….왜 곱하는지 증명하라는 문제도 아니고…

공대박사? 도대체 어떤 공대박사인지? 콤싸?
한국교육이 참 문제가 많다는걸 느끼게 합니다.

암기교육도 도움이 안된다는 증거도 없지요. 효율의 미명하에 많은 인재들 뽑는 데에는 적합하지만 소수의 그리고 정량화가 어려운 인재에게는 부적합할 수도 있지요. 교육은 참 어렵지요. 답은 없지만 답을 찾아가는 과정이 아닐까요?

두개 모두 그린이라는 조건이 들어가기 때문이라고 설명해보시면 어떨까요?
즉 한개가 그린일 확율은 9/25인데, 두번째도 그린이 되려면, 첫번째가 그린이었다는 조건이 들어가는 것아디.
두번째 그린이 일어날 확율은 8/24인데,
첫번째가 그린일 확율 9/25라는 것이 8/24라는 확율로 다시 일어나야하기 때문에
둘을 곱한다라고 설명하시면 이해가 되지 않을까요?

쉬운 예를 하나 곁드린다면,
남자 여자가 반반씩 섞여 있는 반에서 그린과 블루 옷을 입은 아이도 반반씩 섞여있다고 하면,
그린 옷을 입은 여자 아이를 선택할 확율이 얼마일까로 계산한다면,
여자 아이 선택 1/2, 블루 입은 아이 선택할 확율 다시 1/2이 나오고,
그럼 암산으로 해도 1/4이 나오겠지만,
계산으로 하면 1/2 여자 아이 선택한 확율에서 다시 1/2 블루 입은 아이 확율 , 둘다 곱해서 1/4이 된다고 설명해보시면 어떨까 싶네요.

근처에 가셨는데…
마무리가 안되셨네요.

답은
동시에 두조건을 만족해야 하기때문입니다. “동시에”라는 조건 에 방점이 있습니다.
첫번째조건 ^ 두번째조건. (명제에서 브이자 뒤집어진 기호 다 기억하시죠?), 즉 첫번째조건 || 두번째조건 (많은 컴퓨터 언어에서 ||를 and 라는 기호로 쓰죠?). 집합으로 말하면 교집합.

첫번째조건과 두번째조건이 동시에 만족되어야 하면 곱셈을 적용하고
첫번째조건과 두번째 조건이 아무 관계없이 독립적이면 덧셈을 적용합니다.

원글의 문제로 돌아가면,
1. 첫번째 조건: 전체에서 그린 공을 뽑아내야했고,
2. 첫번째 조건을 만족시키는 동시에 두번째로 또 그린 공을 뽑아내야 했기 때문이죠.

1과 2과 둘다 만족되려면 곱셈밖에는 없읍니다. 이걸 다른 모든 수학적 예에 적용해도 다 마찬가지입니다. 이건 그냥 경험적인 이해로 봐야겠죠. 경험으로 곱하는게 사실상 맞거든요. 왜냐하면 이런 예를 얼마든지 나열해서 생각을 해도 다 곱셈이 맞거든요. (수학은 우리의 직관을 정의하고 거기에 기반해서 산술을 정의하기 때문에 “대부분” 우리의 경험과 들어맞습니다. 대부분이라고 하는 이유는 물방울두개가 하나가 되는 현상, 즉 1+1=1 도 있기 때문입니다. 침팬지도 경험으로 수학을 이해합니다. 다람쥐도 이해하리라 봅니다. 호두알 두개가 호두알 하나보다 낫다는걸 알죠.)그런데 왜 이경우에(즉 두조건을 다 만족하는 경우에) 곱셈으로 해야 하냐는걸 증명하라고 하면 이건 아주 차원이 다른 어려운 문제가 되겠죠. 모든 수학적 증명 문제는 다 어려워요.

원글과 동일한 공들을 주면서
문제의 조건을 조금씩 바꾸면 답도 당연히 조건에 따라 달라집니다. 그조건이라는게 이해를 못하면 헷갈리지만 결국엔, 첫번사건과 두번째 사건의 연관성이냐 비연관성이냐 그것이죠. 결국 컴싸의 조건문, if .and. 이냐 if .or. 냐의 차이입니다. and 이면 곱하기이고 or 이면 더하기가 되는것이죠. 저는 컴싸박사도 아니고 수학박사도 아니에요. 그러나 이런건 조금만 의문을 가지면 클리어하게 구분해서 이해를 할수 있습니다.)

어제 제타함수의 특성을 유튜브에서 우연히 찾아서 보다가 정신공황걸릴거 같아서 앞으로는 수학문제나 이런거 별로 골몰하지 않으려고 합니다. (사실 전에도 별로 골몰한적 없었네 ㅋㅋ) 천재 수학자 아벨이 그래서 27살이라는 젊은나이에 죽었나 하는 생각이 갑자기 들더군요. 아마 자살했을걸요? 꼭 풀고 싶은 문제가 하나 있었는데 그냥 포기하는것도 좋겠다 싶더군요. ㅋㅋㅋ 수학전공으로 박사 안한게 얼마나 다행인지 ㅋㅋㅋ 그래도 내대신 어떤 천재가 그 문제를 꼭 풀어주는걸 봤으면 좋겠어요. 도대체 인간의 호기심은 어디까지이고 어디까지 그걸 풀 능력이 되는걸까? 그것과 정신건강은 어떤 관련이라도 있는것일까? 뷰티풀 마인드의 주인공 수학자도 정신질환에 시달리다 죽었죠? 아직 안죽었나? 수학자가 만약 편집증환자가 되었다면 얼마나 그사람은 불행할까. 안풀리는 문제를 끝까지 잡고 물어져야 하는상황인데…진짜 비극일거 같아요. 그러니 이런 문제에 너무 골몰하지 마세요. 그런것과 행복과는 아무런 관련이 없답니다.

요즘 드는 생각인데 악기연주자에는 정신 질환자가 없을거 같습니다. 혹시 악기연주자중에서 정신질환자 주위에서 본적 있나요? 윌리넬슨같이 대마초나 마약하는애들 빼고.

위의 설명이 원글 아들한테는 별 도움이 안될듯해서,
진짜 “경험적으로”, 하나하나 막고 푸는 티디어스한 방법으로, “경우의 수”를 세어보겠습니다. 확률은 분수를 다루니 헷갈리지만 “경우의 수”는 그냥 자연스러운 자연수니까 헷갈릴 염려도 없지요. 일단 그러려면 문제를 단순화할께요. 일단 공이 1,2,3,4 가 쓰인 4개가 있다고 합시다. 문제는 첫번째뽑을때 1번공을뽑고 “그리고”, 두번째 뽑을때 4번공이 뽑힐 확률을 구합니다.

(1번째 사건, 2번째 사건) 을 set으로 표현해서, 일어날수 잇는 모든 경우의 수를 한번 직접 세어보지요.
경우1: (1, 2)
경우2: (1, 3)
경우3: (1, 4)
경우4:(2,1)
경우5:(2,3)
….
경우12: (4,3)

이렇게 됩니다. (이거 하다보면 왜 곱하기인지 벌써 감이 오지요?)
이 12개중 (1,4) 인 조합은 딱 하나이지요. 그러므로 경우의 수는 12개인데 그중 (1,4)조합은 하나이니 확률은 1/12. 나중에 알고보면 1/4*1/3 이 되는걸 알게 됩니다. 직관이 빠른 사람은 확률을 안배워도 중간 티디어스한 과정이 빠지고 바로 1/4*1/3 에 도달하는 사람도 있겠죠.

여기서 점점 복잡해지게 문제를 확대해나가면 됩니다. 공이 1번짜리가 2개가 들었다. 그리고 나머지는 2, 3, 4 가 하나씩 들어있다. 이경우에도 첫번째공이 1번나오고 “그리고” 두번째공이 4번 공이 나올확률을 따져보자. 마찬가지로 위에서처럼 경우으 수를 다 구합니다. 이번엔 1번공이 두개니까 서로 차별화시키기위해 1-a, 1-b 로 나누어 경우의 수를 구한다음에 어차피 두개가 다 1번공이니 경우의 수를 고려할때 합해주면 되겠죠.

이렇게 해서 색깔공으로 확대해나가서, r-1, r-2, (이상 빨간공) g-1-g-2,(이상 녹색공) b-1, b-2, b-3 (이상 파란공) 라고 라벨을 붙여서 경우의 수를 다 구해보면 됩니다. 몇개 해보면 왜 경우의 수에 곱하기가 필요한지 감이 오겠지요?

그런데 여기서는 항상 첫번째조건과 두번째 조건에 “그리고”라는 조건이 있기때문에 경우의 수를 구할때 곱하기가 되야 하는거구요.

여기서 좀더 헷갈리게 하려면 복원추출(첫번에 뺏던 공을 다시 원래대로 집어넣고 두번째공을 빼는 ) 문제를 차별화 시킬수 있는데, 원리는 뭐 똑같죠. 초등학생도 이정도면 이해할려는 의지만 있고 인내력만 있으면 이해가 가능하죠. 이걸 마지막 공까지 빼내려면 거기에 팩토리알 개념을 배우게 되는거죠. 마지막공을 빼낼때까지, 계속 “그리고” 빼내고 “그리고” 가 반복되니, 전부 곱해져서 팩토리알이 되는거죠.
내 아들은 뭐 설명자체도 안들을려고 해서 저는 그냥 안가르칩니다. 지가 알아서 하든 말든. 한번 가르치려다가 제 성질 다나오고 아들은 눈물빼고…한번도 울려본적 없던 애인데…맘이 안좋고 부작용이 염려되서. 전과목 성적평균이 씨인데, 다른애들 보다 더 잘한거라고 잘못했다는 생각은 조금도 안들어하고…미국 학교시스템이 워낙 엉망이라 걱정은 되는데…후유..

바로 위의 첫번째 예(4개의 공이 1,2,3,4로 찍힌 공)를 주었는데, 사실 이 예가 원글의 문제와 딱 맞아떨어지는 예가 아니군요. 왜냐하면 원글 문제에서는 두개의 그린공들을 순차적으로 뽑아낸다고 말한게 아니라, 동시에든 뭐든 어쨌든 순서에 상관없이 뽑아내는 문제인데에 비해서, 내 경우의 첫번째 예에서는 순차적으로 일어나는 사건으로 순서를 정해서 설명했기 때문이네요.

그래서 두마리 토끼, 즉 왜 순차적 조건들을 다 만족(그리고)일때는 ‘곱하기’인지, 그게 아니고 또는 (or) 의 조건으로는 ‘더하기’ 가 경험상 설명이 되는지를 보기 위해서는 아주 간단한 1번공 두개와, 2번공 하나로 이루어진 3개의 공으로 이루어진 박스에서 두개의 1번공을 순서에 상관없이 동시에 뽑아낼 확률로 설명할수 있겠네요. 일단 답은

1. 첫번째 해법: dddd님 설명방법을 따르면, 전체 세개에서 두개의 공을 빼는 경우의 수= (3*2), 그리고 두개의 1번공에서 두개의 1번공을 빼는 경우의 수는 (2*1). 그러니까 답은 (2*1)/(3*2) = 1/3.

2. 두번째 해법: 원글의 해법. 답 = (세개의 공에서 첫번째 1번공 뺄 확률) * (나머지공에서 다시 또 1번공 뺄 확률) = (2/3)*(1/2) = 1/3.

3. 세번째 해법: sgg 식의 설명에 따르면, 다음과 같이 해석 가능함.
답 = (전체공에서 두개공을 뺄때 1a 공을 먼저빼고 1b공을 나중에 뺄 확률) .or. (전체공에서 두개공을 뺄때 1b 공을 먼저빼고 1a공을 나중에 뺄 확률)
= (1/(2*3)) + (1/(2*3))
= 1/3
(여기서 or 를 사이에 둔 앞의 사건과 뒤의 사건들은 서로 관련없는 전혀 별개의 사건이니까 확률을 더할 수 있었다. )

9C2/25C2= 9×8/(25×24)

이렇게 한번 설명해 보심이 어떨까요.
확률은 모집단을 전제하면 이해가 자연스러워집니다.

한번에 두개의 공을 뽑는다는 것과
한개씩 두번 뽑는것은 사실상 동일하므로
각각의 뽑는다는 행위는 독립사건이 됩니다.
그래서 우리는 생각의 편의를 위해서
한개씩 순차적으로 두번 뽑기로 하지요.

이렇게 두개의 공을 뽑는 것을
100번을 실행했을때
즉 두개씩 100번을 뽑을때
둘다 녹색공을 뽑게되는 경우는 몇번이나 있을까
가 문제이곘지요.

먼저 한개의 공을 뽑았을때 녹색이 나오는 경우는
100*9/25 = 36번.

또 녹색공을 뽑게 될 경우의 수는
그 36번 중에서 계산해야 하므로
36*8/24=12번.

앞의 36이라는 숫자는 100*(9/25)에서 나왔으므로
이 과정을 한꺼번에 적는다면
100*(9/25)*(8/24) =12.
그러나 확률값을 묻는 문제이므로
확률은 (9/25)*(8/24)= 0.12.

이상 왜 곱하기를 해야하는지에
중학생에게 설명해주기위한
나름대로의 제안입니다.

그냥 한마디로 말하면
저 앞에 어느분이 말했듯이
‘동시적인 독립사건’의 확률구하기이기에
“같은 모집단을 전제하는 각 독립사건의 활률은 곱하기해야 한다”
는 것입니다.

제대로 답하는 사람이 한 명도 없네요
직관적으로 왜 곱해야하는지를 이해하고 싶은 건데
경우 하나하나를 다 세어서 구한 값과 곱하여 구한 값이 같으니까 곱해야 한다는 등
다들 귀납적으로만 설명하고 있네요
경험 말고 이해할 방법이 없다면 그렇다 쳐도… 답과 풀이 몰라서 질문한 것도 아닌데 풀이만 쓰고 가는 사람들은 뭐하는 건지?

마음에 안 들면 직접 증명과정을 풀이해주실 정도의 열정이 있으면 좋을텐데, 그렇지 않고 남들의 설명을 비하하며 잔소리만 하면 자신의 입만 물위에 둥둥뜨신 분입니다. 저는 증명과정을 쓸 지능이 모자라서 남들 설명에 뭐라고 하지도 못하건만.

뱃사공이 많으면 배가 산으로 간다 라는 말이 있습니다..
잘 모르겠으면 아는 체는 하지 말아야합니다. 확실하지도 않은 설명을 덧붙이는 것은 오히려 개념의 혼란을 가중시킬 뿐이죠.