옛날 여권을 버려서 미국에 4년전에 입국한 날자를 확인할 수가 없습니다.
기록해 놓지도 않았고 기억이 정확하지도 않네요.

한국 같으면 출입국 사무소에 가서 출입국 기록을 발급받을 수 있는데,
미국에서도 출입국 기록을 확인할 수 있는 정부기관이 있는지요?
어디에 가서 어떤 절차를 밟아야 합니까?

I-94 CBP

여기로 들어가시면 출입국 기록 확인 하실수 있습니다..
물론. 예전 여권번호 와 체류신분이 무엇인지 아셔야
확인 하실수 있어요..

들어가봤는데 nonimmigrant aliens 만 해당되네요.
여권번호도 물론 모르고요.

가까운 영사관 가셔서.. 출입국 확인서 발급 받으실수 있고요.. 아님.. 공인인증서 파일 가지고 계시면 ..
민원24 에서 인터넷에서 영문으로 프린트 하실수 있어요.

영사관 혹은 공인인증서로 민원 24에서 발급 안 됩니다.
원글님은 한국 입출국 기록을 찾으시는게 아니라, 미국 입출국 기록을 찾으시는겁니다.
공항의 Immigration 같은 곳에 전화해서 한 번 물어보세요.