한국에 6월 22일에 나가야 하는데, 여권이 2개월 전에 만료된 걸 이제 알았습니다. 

월요일에 바로 뉴욕 영사관에 가서 재발급하려고 하는데,

혹시 최근에 재발급해보신 분 중에 얼마나 걸렸는지 알려주실 수 있을까요?

여권이 만료되어서 재발급 받으려면, 문제가 있나요?

지금 완전히 패닉입니다.  경험 좀 공유해 주세요.

비슷한 경험입니다. 과거 한국에서 직장다닐때 미국에 출장을 와서 여권을 분실했습니다. 샌스란시스코지역이었는데 영사관에 연락을 했더니 그 다음날 임시여권을 발급해줬습니다. 그래서 무사히 귀국했습니다. 여권에 관한 모든 사항은 여권소지자의 신분에 따라 각자 다르게 취급되는 것 같습니다. 제 경험같이 한국에서 온 여행객의 경우는 임시여권이 가능하지만 장기체류자나 영주권자는 다를 수도 있다는 것은 이해하시기 바랍니다.

제 경우 쎈푸란시스코 영사관에서 당일 발급 받았습니다. 갈때 급하게 한국을 가야 한다는 서류 즉
비행기표를 보여주면서 사정 이야기를 잘 설명하면 당일 해줄 겁니다. 여권 유효기간 넘은 것은 문제 삼지 않습니다. 걱정 안하셔도 될것 같습니다.

혹시 저와 비슷한 경우가 있으실까봐 다시 글을 올립니다.
말씀해 주신 것처럼, 여권 만료에 대해서는 문제 삼지 않았고
DHL을 신청하는 경우 1주일 내에 받을 수 있는 서비스가 있었습니다.