1. 이미 쿼터가 다 찼으니 당분간 리오픈되기는 힘들 것 같습니다.
2. 회사에서 J1비자 서포트가 가능하다면 J1으로 가시면 됩니다. j1으로 가시게 되면 적정임금 (?)을 못받으실 수도 있으니 확인해 보세요. 세금문제나 기타 생활하는데에는 J나 H나 차이가 없는 것으로 알고 있습니다. 그리고 추후 J에서 H로 변경시 2년본국거주의무에 대한 waiver를 신청하셔야 하는 것도 꼭 챙기시구요..
또 한가지는 H1의 dependent인 H4는 working permit을 받을 수 없지만, J1의 dependent인 j2는 working permit을 신청해서 받을 수 있습니다.

3. 빠른 길 보다는 정확하고 확실한 방법 (물론 합법적이고 추후 영주권 신청시에도 문제가 없게)을 권하고 싶습니다.

도움이 되셨으면 합니다.

일반적인 회사라면 인턴이 아닌 정직원에게 J1비자를 서포트하지 않습니다. 아래 목록을 참조하세요.
http://korean.seoul.usembassy.gov/visas_j_stay.html
그리고, 매 10월에 시작되는 회계연도에 쿼터가 시작되는데 6개월전인 4월초부터 신청하실수 있습니다. 아시다시피 2013년도 쿼터는 이미 끝났고 내년 4월초에 2014년도 쿼터로 신청하시고 내년 10월초부터 일을 하시면 됩니다.

네 감사합니다. ^^ 많은 도움 되었습니다.