1st counter is ok.
Do it since you have nothing to lose.

> 저번에 구두로 얘기할때 회사에서 제시한 금액이 최대라고는 했었습니다.

그걸 액면 그대로 받아들인다면 final offer라는 얘기고, 액수를 1만불로 명시하며 올려달라는 얘기를 하게 되면, 그렇게 못해주면 거부하겠다는 말이 됩니다. 그게 의도하시는 바라면 그렇게 하십시오. 그게 아니라, 안된다면 그대로 받아들이고 싶으시다면, 액수를 정해서 올려달라고 하지 마시고, 그냥 좀 더 나은 오퍼가 혹시 가능하지 않냐고 정중히 물어보세요. 여유 버짓을 놔두고 오퍼한거라면 조금이나마 더 붙여줄겁니다.

시도해도 손해볼게 없다고 생각합니다.
저도 HR에서는 not negotialble하다고 통화로 들었지만, 더 받아야할 이유를 몇가지 적어서 보냈더니 올려주더라구요. 베넷핏이 약해서 insurance가 더 나간다/401K 매칭이 약하다 등등… 아님 stock vesting이 안되서 loss가 얼마다 등으로 유리하신 금액만 언급해보세요.

Verbal이라면 협의할 수 있는 여지가 남아있죠.
본인이 생각하는 범위와 회사에서 생각하는 범위가 나왔기에 그걸 어떻게 좁히느냐는 자신의 전략입니다.
이직이라 했으니 지금 받는 수준이 있을 것이고 그것과 기대 값 사이에 위치할 수 있을텐데 내가 기대하는 값의 근거를 명확히 이해되도록 설명할 필요가 있습니다.
회사에서 제시한 금액대비 $10,000을 더 받고 싶은 이유를 설명해줘야합니다.
윗분이 예로 잘 적어줬네요.
그게 타당하다고 받아들여지면 다시 한번 조정할겁니다 (아닐수도 있고 그 중간값이 될 수 도 있고 등등 여러 결과들이 나오겠죠).
중요한 건 네가 그 오퍼를 받고 이직할 때 잃을 수 있는 것들을 언급하는 겁니다.
그걸 어느정도는 보상받고 싶다고 한다면 조금 더 나에게 유리한 결과를 가져올 수 있습니다.