위의 설명이 원글 아들한테는 별 도움이 안될듯해서,
진짜 “경험적으로”, 하나하나 막고 푸는 티디어스한 방법으로, “경우의 수”를 세어보겠습니다. 확률은 분수를 다루니 헷갈리지만 “경우의 수”는 그냥 자연스러운 자연수니까 헷갈릴 염려도 없지요. 일단 그러려면 문제를 단순화할께요. 일단 공이 1,2,3,4 가 쓰인 4개가 있다고 합시다. 문제는 첫번째뽑을때 1번공을뽑고 “그리고”, 두번째 뽑을때 4번공이 뽑힐 확률을 구합니다.
(1번째 사건, 2번째 사건) 을 set으로 표현해서, 일어날수 잇는 모든 경우의 수를 한번 직접 세어보지요.
경우1: (1, 2)
경우2: (1, 3)
경우3: (1, 4)
경우4:(2,1)
경우5:(2,3)
….
경우12: (4,3)
이렇게 됩니다. (이거 하다보면 왜 곱하기인지 벌써 감이 오지요?)
이 12개중 (1,4) 인 조합은 딱 하나이지요. 그러므로 경우의 수는 12개인데 그중 (1,4)조합은 하나이니 확률은 1/12. 나중에 알고보면 1/4*1/3 이 되는걸 알게 됩니다. 직관이 빠른 사람은 확률을 안배워도 중간 티디어스한 과정이 빠지고 바로 1/4*1/3 에 도달하는 사람도 있겠죠.
여기서 점점 복잡해지게 문제를 확대해나가면 됩니다. 공이 1번짜리가 2개가 들었다. 그리고 나머지는 2, 3, 4 가 하나씩 들어있다. 이경우에도 첫번째공이 1번나오고 “그리고” 두번째공이 4번 공이 나올확률을 따져보자. 마찬가지로 위에서처럼 경우으 수를 다 구합니다. 이번엔 1번공이 두개니까 서로 차별화시키기위해 1-a, 1-b 로 나누어 경우의 수를 구한다음에 어차피 두개가 다 1번공이니 경우의 수를 고려할때 합해주면 되겠죠.
이렇게 해서 색깔공으로 확대해나가서, r-1, r-2, (이상 빨간공) g-1-g-2,(이상 녹색공) b-1, b-2, b-3 (이상 파란공) 라고 라벨을 붙여서 경우의 수를 다 구해보면 됩니다. 몇개 해보면 왜 경우의 수에 곱하기가 필요한지 감이 오겠지요?
그런데 여기서는 항상 첫번째조건과 두번째 조건에 “그리고”라는 조건이 있기때문에 경우의 수를 구할때 곱하기가 되야 하는거구요.
여기서 좀더 헷갈리게 하려면 복원추출(첫번에 뺏던 공을 다시 원래대로 집어넣고 두번째공을 빼는 ) 문제를 차별화 시킬수 있는데, 원리는 뭐 똑같죠. 초등학생도 이정도면 이해할려는 의지만 있고 인내력만 있으면 이해가 가능하죠. 이걸 마지막 공까지 빼내려면 거기에 팩토리알 개념을 배우게 되는거죠. 마지막공을 빼낼때까지, 계속 “그리고” 빼내고 “그리고” 가 반복되니, 전부 곱해져서 팩토리알이 되는거죠.
내 아들은 뭐 설명자체도 안들을려고 해서 저는 그냥 안가르칩니다. 지가 알아서 하든 말든. 한번 가르치려다가 제 성질 다나오고 아들은 눈물빼고…한번도 울려본적 없던 애인데…맘이 안좋고 부작용이 염려되서. 전과목 성적평균이 씨인데, 다른애들 보다 더 잘한거라고 잘못했다는 생각은 조금도 안들어하고…미국 학교시스템이 워낙 엉망이라 걱정은 되는데…후유..